Según informó en un comunicado el partido de izquierda, González nació hace 66 años en Kokan, un pueblo de Uzbekistán, en la antigua Unión Soviética, donde sus progenitores tuvieron que exiliarse para evitar la represión franquista, ya que su padre fue dirigente del PCE en Asturias. Con 15 años, volvió a España, donde tras repetir el Bachillerato, al no convalidarle los estudios soviéticos, cursó Ingeniería Técnica. Al mismo tiempo, comenzó su militancia en el PCE y fundó, junto a Tomás Tueros, CC.OO. en Euskadi.
Se afincó en Gipuzkoa, lugar en el que trabajó en la empresa Migsa y, una vez jubilado, retornó a Santurtzi, municipio en el que se casó con su esposa Inmaculada Pérez, con la que tuvo dos hijos, Igor y Tamara.
Entre 1991 y 1995 fue Coordinador General de Ezker Batua y, cuando finalizó este período resultó elegido concejal por Santurtzi. Precisamente, el actual responsable de EB, Javier Madrazo, destacó de Enrique González que era "un hombre comprometido con la izquierda vasca, con las señas de identidad de la tradición comunista, con la consecución de la paz en Euskadi, con la superación del capitalismo y con la República Federal".
